Las teorías del caos y los sistemas complejos, Caos: un paradigma multidisciplinar

LAS TEORÍAS DEL CAOS Y LOS SISTEMAS COMPLEJOS:
Proyecciones físicas, biológicas, sociales y económicas (*)

CAOS: UN PARADIGMA MULTIDISCIPLINAR
INTRODUCCIÓN.
A finales del siglo pasado, Poincaré inició, con sus estudios sobre la estabilidad del sistema solar [1], los trabajos pioneros de lo que en este siglo se ha ido configurando como la teoría del caos.
Fue en la década de los sesenta en la que gracias al desarrollo de los ordenadores de alta velocidad y la aparición de importantes resultados matemáticos (como por ejemplo el teorema de Kolmogorov, Arnold y Moser para sistemas Hamiltonianos [2]) se pudo ahondar en estas ideas revolucionarias.
En las dos últimas décadas el interés por los fenómenos caóticos ha ido en aumento [3],
extendiéndose a campos del conocimiento muy dispares y alejados de las matemáticas, erigiéndose en el cuerpo de doctrina que hoy conocemos como Dinámica No Lineal [4].
Una de las características que probablemente más ha contribuido a este desarrollo es el carácter multidisciplinar del caos. Hoy en día existen muchas revistas especializadas (p. ej. Chaos, International Journal of Bifurcation and Chaos, Physical Review E, Physica D) que tratan específicamente esta problemática, y en ellas se describen ejemplos de conducta caótica muy variados, entre los que se encuentran las reacciones químicas, circuitos eléctricos, mecánica celeste, ecología, economía, vibraciones mecánicas, láseres, y un largo etcétera. Por otra parte, los fenómenos caóticos presentan a menudo comportamientos y conductas universales que derivan de la ubicuidad de los términos no lineales [7] que los originan.
Incluso el caos ha empezado a formar parte de nuestra vida cotidiana, existiendo numerosas referencias recientes en el cine [5] y en la literatura [6].
A continuación pasaremos revista de una forma sucinta y sencilla a una serie de propiedades
definitorias de lo que se entiende hoy en día por caos.

CAOS DETERMINISTA. SENSIBILIDAD EXTREMA A LAS CONDICIONES INICIALES.
En primer lugar hay que destacar que, a diferencia de lo que ocurre en el lenguaje coloquial en
el que el término caos es sinónimo de desorden o falta de estructura, cuando se habla en ciencia de caos nos referimos a caos determinista. Es decir una conducta compleja e impredecible pero que se deriva de ecuaciones o algoritmos bien definidos matemáticamente; que incluso no necesitan ser muy complicados, como veremos más adelante.
Una de las definiciones operacionales quizás más sencilla y fácil de entender de caos es la de extrema sensibilidad a las condiciones iniciales. Es decir, existe caos cuando en un sistema dos sucesos que empiezan en condiciones iniciales muy próximas evolucionan de manera diferente de forma, que se separan exponencialmente en el espacio de las fases [8]. Así, se puede decir que se pierde la memoria de las condiciones iniciales de que se partía. Esto tiene una consecuencia muy importante y es que en el régimen caótico es imposible realizar predicciones a largo plazo, ya que nunca se van a poder conocer las condiciones iniciales del sistema con infinita precisión.
Una forma de referirse al fenómeno anterior, que se ha hecho muy popular, es el término efecto
mariposa [3,5], que proviene del título de la conferencia pronunciada por Edward N. Lorenz en 1972 en la 139º reunión de la Sociedad Americana para el Avance de la Ciencia: “¿Puede el aleteo de una mariposa en Brasil desencadenar un tornado en Texas?”, en el que se quería enfatizar, con una imagen chocante, la dependencia extrema a las condiciones iniciales [9].
Para entender el origen de esta separación exponencial en el régimen caótico, consideremos dos
corchos que se dejan muy juntos en la corriente de un río. Mientras la corriente transcurra de forma suave en régimen laminar no caótico, las trayectorias seguidas por los dos corchos estarán muy próximas y estas a lo sumo se separarán de forma lineal. En cambio en las zonas del río en las que el flujo sea turbulento y las aguas formen remolinos los corchos se separarán rápidamente, con evoluciones totalmente diferentes.
Este argumento puede realizarse de una manera más cuantitativa introduciendo el llamado
coeficiente de Lyapunov. Consideremos dos trayectorias inicialmente separadas en el espacio de fases una distancia d0, al cabo de un tiempo t la distancia que las separa habrá cambiado y vendrá dada por dt, que expresaremos formalmente de la forma:
teorías del caos, paradigma multidisciplinar
donde λ es el llamado coeficiente de Lyapunov. Cuando λ≤0 se dice que el régimen es regular
mientras que cuando λ>0 el comportamiento es caótico.

EL CAOS COMO LA TERCERA REVOLUCIÓN DE LA FÍSICA EN EL SIGLO XX.
Otra de las características distintivas que se le atribuyen al caos es ser la tercera revolución de la Física en el siglo XX, reservando para la teoría de la relatividad y la mecánica cuántica los primeros lugares.
Según Kuhn [10] las revoluciones en la ciencia traen consigo un cambio de paradigma,
entiendo por tal el conjunto de verdades aceptadas por la comunidad científica. En este sentido, estas revoluciones pueden siempre definirse de una manera negativa enunciando conceptos que destronan.
Por ejemplo, la revolución por excelencia que es la debida a Copérnico (entre otros) se conoce como la que acabó con el geocentrismo, de la misma forma que la relativista enterró el espacio y el tiempo absolutos, o la cuántica abolió la posibilidad de medir simultáneamente y con toda precisión variables físicas conjugadas.
En este sentido, los autores que defienden el carácter revolucionario de la teoría del caos se basan, entre otros argumentos, en que el comportamiento caótico lleva aparejada una imposibilidad de realizar cálculos matemáticos infinitamente precisos. Para examinar este argumento con más detalle examinemos un sistema dinámico muy sencillo, el llamado mapa de Bernouilli, que se define mediante la ecuación:
teorias del caos, disciplina multiplicinar
que nos da una serie de números, cada uno calculable en función exclusiva del anterior. Supongamos ahora que realizamos el cálculo en un ordenador digital, que como sabemos trabaja internamente en el sistema binario, de ceros y unos, de numeración. Es sencillo darse cuenta de que en este sistema la operación “multiplicar por 2” corresponde simplemente a correr la coma decimal un lugar hacia la derecha, mientras que la “mod 1” elimina la parte entera del número en cuestión. De lo anterior se deduce que, excepto para un conjunto numerable de valores, el resultado de las sucesivas iteraciones del mapa de Bernouilli es eliminar una cifra significativa del valor con que se inicie la secuencia, de forma que como el ordenador opera con una representación finita de cifras el cálculo carecerá de sentido cuando se haya eliminado la última de estas.
En cualquier caso, tanto si se acepta este argumento como suficiente para demostrar el carácter revolucionario de la teoría del caos como si no, lo cierto es que esta ha traído un nuevo lenguaje y una forma común y unificada de racionalizar y entender los procesos dinámicos, que poco a poco va permeando a muchas áreas del saber e incluyéndose en los correspondientes temarios y libros de texto.

ATRACTORES EXTRAÑOS.
El caos no sólo aparece en sistemas discretos como los descritos en el apartado anterior, sino
que también es propio de algunos sistemas continuos de (al menos tres) ecuaciones diferenciales. Este es el caso del llamado sistema de Lorenz:
teorías del caos, paradigma multidisciplinar
Lorenz se interesó por este sistema en sus estudios de la convección de Rayleigh-Bénard, que
corresponde al movimiento de un fluido situado entre dos placas a distinta temperatura; por ejemplo aire entre dos capas de la atmósfera [11]. Normalmente la inferior tendrá una temperatura mayor, con lo cual calentará el aire que tenderá a subir al hacerse más ligero. En el proceso el aire se volverá a enfriar y por tanto volverá a descender. En este fenómeno cíclico se forman “rollos” de convección, que son aprovechados por las aves planeadoras, como las cigüeñas o los buitres, en sus ascensos. En este sistema, X representa la amplitud del movimiento convectivo, Y la diferencia de temperatura entre las corrientes ascendente y descendente, y Z la desviación de la linealidad del perfil de temperaturas.
Integrando numéricamente el sistema de ecuaciones diferenciales acopladas anterior para
diferentes valores del parámetro de control, r, Lorenz encontró distintas conductas en las cuales la solución era siempre “atraída” hacia un valor asintótico fijo. Así, para 0<r<1 el atractor era el origen, en el cual la convección deja de tener lugar y el calor fluye entre las dos placas por conducción. Para 1<r<24.74 el origen se vuelve inestable y aparecen dos nuevos puntos atractores
teorías del caos, paradigma multidisciplinar
correspondientes a rollos convectivos estables en los que el fluido rota en sentidos opuestos y el calor se transmite por convección. Y finalmente, para r>24.74 las trayectorias son atraídas hacia una figura con forma de mariposa, conocida hoy en día como atractor de Lorenz, y que a diferencia de los objetos de las geometrías tradicionales tiene una dimensión fraccionaria, cosa que en la época de su descubrimiento resultó totalmente extraña.

LA GEOMETRÍA FRACTAL DE LA NATURALEZA.
En todos los campos de la ciencia estamos acostumbrados a trabajar con los objetos
geométricos de dimensión entera, heredados de la geometría euclidiana. Así, los puntos tienen dimensión 0, las líneas 1, las superficies 2 y los volúmenes 3. Sin embargo, ya en el siglo pasado
Cantor había definido objetos geométricos de dimensión fraccionaria. Un ejemplo típico es el llamado conjunto de Cantor o del tercio intermedio, que se construye de forma recursiva eliminando el tercio central de un segmento dado. En el límite de infinitas eliminaciones se obtiene un conjunto que, por construcción, no tiene ni dimensión 0 ni 1, sino intermedia. Igual que hizo Cantor pueden definirse conjuntos fractales de cualquier dimensión.
Además estos conjuntos fractales tienen la propiedad de invariancia de escala, es decir de ser
autosemejantes. Así cuando se amplia una parte del mismo tiene la forma del conjunto completo, de la misma manera que cuando se arranca uno de los brotes de una coliflor este es igual que la coliflor entera, sólo que más pequeño.
Otro de los conjuntos fractales más fascinantes y conocidos es el conjunto de Mandelbrot [12],
que toma su nombre del matemático que sin duda más ha contribuido al desarrollo y popularización
de los fractales. Este conjunto se define a partir del mapa cuadrático:
teorías del caos, paradigma multidisciplinar
y está formado por todos los puntos, c, cuya secuencia no escapa a infinito.
Desde el punto de vista práctico, la compresión de imágenes mediante fractales, para su
utilización en comunicaciones, juegos informáticos y generación digital de secuencias de películas,
está cobrando una gran importancia. Esta tecnología se basa en los trabajos de Barnsley, quién
demostró como pueden comprimirse imágenes mediante la aplicación reiterada de aplicaciones
contractivas.

REFERENCIAS CITADAS

*  Se recoge el contenido de las intervenciones de los ponentes del Seminario-Debate multidisciplinar, organizado por esta revista, sobre Las Teorías del caos y los sistemas complejos: Proyecciones físicas, biológicas, sociales y económicas, celebrado el pasado 14 de Diciembre en la Universidad Autónoma de Madrid.

[1] H. Poincaré, Les Nouvelles Méthodes de la Mécanique Céleste (Gauthier-Villards, Paris, 1892).
[2] V. I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics (Springer Verlag, New York,
1978).
[3] J. Gleick, Caos: La Creación de una Nueva Ciencia (Seix Barral, Barcelona, 1987).
[4] A. J. Lichtenberg y M. A. Lieberman, Regular and Stochastic Motion (Springer Verlag, New
York, 1981).
[5] Parque Jurásico de S. Spielberg; El Efecto Mariposa de F. Colomo.
[6] A. Escohotado, Caos y Orden (Espasa Calpe, Madrid, 1999); J. Briggs y F. David Peat, Las Siete
Leyes del Caos (Grijalbo, Barcelona, 1999).
[7] Se dice que un fenómeno es lineal cuando si f1 y f2 son dos soluciones independientes de las
ecuaciones que lo gobiernan f1+f2 también lo es.
[8] Espacio formado por todos los parámetros necesarios para caracterizar el estado del sistema.
[9] E. N. Lorenz, La Esencia del Caos (Debate, Madrid, 1994).
[10] T. S. Kuhn, La Estructura de las Revoluciones Científicas (Fondo de Cultura Económica,
México, 1975).
[11] E. N. Lorenz, “Deterministic Non Periodic Flow”, J. Atmos. Sci. 20, 130 (1963).
[12] B. B. Mandelbrot, La Geometría Fractal de la Naturaleza (Tusquets, Barcelona, 1996).